OrangeYellow'sworld: Tugas Matematika

APLIKASI TURUNAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Disusun Oleh : Mutiah Addini

Kelas : XI- Ipa 1

Jl. MAN 6 RT. 010/04 Dukuh, Kramat jati, Jakarta Timur, 13550

Telp. 021- 8404248, Fax. O21-87791548

Kata Pengantar

Assallmua’laikumWr. Wb

Puji syukur kepada Allah SWT, karena atas izin-Nya saya dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini saya susun berdasarkan data dari berbagai sumber yang saya dapatkan, hingga, saya mencoba menyusun data-data itu hingga menjadi sebuah karya tulis ilmiah sederhana yang berbentuk makalah. Denga judul “aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari”.

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, maupun dalam bidang sosial ekonomi pertanian.

Semogamakalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca atau pun untuk teman-teman yang ingin mengenal lebih dalam lagi tentang Turunan beserta aplikasinya.

Saya menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini sangat banyak kekurangannya, karena pengetahuan saya yang kurang luas, oleh karena itu segala kritik dan saran sangat saya harapkan agar dapat memperbaiki kesalahan-kesalahan tersebut.

Wabillahi taufiqwalhidayah, wassalammmualaikum Wr. Wb.

Jakarta, 06 Juni 2016

Mutiah Addini

Daftar Isi

Kata Pengantar…………………………………………… i

Daftar Isi……………………………………………........... ii

BAB I

Pendahuluan……………………………………………… 1

I.1 Latar Belakang Masalah……………………………....... 1

I.2 Rumusan Makalah……………………………………… 2

I.3 Tujuan Makalah………………………………………... 2

BAB II

Pembahasan…………………………………………......... 3

2.1Aplikasiturunan…………………………………............ 3

2.2 contoh aplikasi turunan dalam berbagai bidang .............. 8

BAB III.

Penutup ……………………………………...................... 11

3.1 Kesimpulan………………………………...................... 12

Daftar pustaka..................................................................... 11

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehiupan sehari-hari, maupun dalam bidang sosial ekonomi pertanian.

1.2. Rumusan Masalah

Apa saja apliksi turunan yang ada dalam ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari ?

1.3. Tujuan

Ø Dapat mengetahui dan menjelaskan beberapa Aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari.

Ø Untuk memenuhi tugas matematika.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Aplikasi turunan

Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.

Integral adalah kebalikan (invers) dari pendiferensialan. jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat

F'(x) = f(x)

maka F(x) merupakan himpunan anti turunan atau himpunan pengintegralan F'(x) = f(x). Himpunan anti turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan

∫ f(x)dx

dibaca integral f(x) terhadap x, dan disebut integral tak tentu f(x).

Integral tak tentu f(x) adalah suatu fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan

∫ f(x)dx = F(x) + C

dengan
f(x) dinamakan integran
F(x) dinamakan fungsi integral umum
C dinamakan konstanta pengintegralan

1. Integral Tak Tentu

a. Pengertian

Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

∫ f(x) = F(x) +k

Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan di atas, tanda ∫ adalah tanda integral, f(x) dx adalah diferensial dari F(x).f(x) sendirian disebut integran, dx sendirian disebut diferensial, F(x) adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan, dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.

2. Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki batas atas dan batas bawah.

Maksimum dan Minimum

Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.

Gambar :

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f , memuat titik C, kita katakan bahwa:

i. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S

ii. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di S

iii. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum

2.Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :

i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I, x₁< x₂ → f(x₁) < f(x₂)

ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x₁dan x₂ dalam I, x₁> x₂ → f(x₁) > f(x₂)

iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Turunan Pertama dan Kemonotonan

Ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik x, kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

Turunan Kedua dan Kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah

Definisi:

Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun pada I, fcekung ke bawah pada I.

Titik Balik

Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.

3.Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :

i. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S

ii. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S

iii. f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

4. Penggambaran Grafik Canggih

Untuk menelesaikan masalah pembuatan grafik dan penyelesaian soal-soal terapan turunan, tekadang diperlukan beberapa tahap yang sistematis untuk mempermudah dalam menyelesaikan masalah tersebut.

Langkah1 Buat analisis pendahuluan sebagai berikut:

a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidanga yang dikecualikan.

b. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)

c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu kordinat.

d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

e. Uji titik-titk kritis untuk maksimum dan minimum lokal.

f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah untuk melokasikan titik-titik balik.

g. Cari Asimot-asimtot

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk titik-titik kritis dan titik balik

Langkah 3 sketsakan grafik

Contoh Soal:

Buatlah grafik dari fungsi x⁴ – 4x³ + 10

F’(x) = 4x³ – 12x² = 4x² (x -3)

Titik kritis: 0 dan 3

F’(x) > 0 pada (3, ∞)

F’(x) < 0 pada (-∞,0) dan (0, 3)

2.2 Beberapa contoh aplikasi turunan dalam berbagai bidang

1. Pada bidang Tekhnik

Pada bidang Tekhnik penggunaan turunan dapat membantu programer dalam pembuatan aplikasi dari mesin – mesin yang handal.

Contohnya : Para Enginer dalam membuat / mendisain mesin – mesin pesawat terbang.

2. Pada bidang Matematika

Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.

Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :

Tentukan persamaan garis singgung dari y = x³- 2x²- 5 pada titik (3,2).

3. Aplikasi turunan dalam bidang ekonomi

Penerapan penggunaan turunan parsial matematika pada kehidupan sehari-hari sangat banyak. Hampir semua bidang ada. Contohya penggunaan turunan parsial dalam bidang ekonomi.

Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.

Ø Elastisitas

Dalam ilmu ekonomi, elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari sebuah variabel dengan perubahan variable lainnya. Dengan kata lain, elastisitas mengukur seberapa besar besar kepekaan atau reaksi konsumen terhadap perubahan harga.

Penggunaan paling umum dari konsep elastisitas ini adalah untuk meramalkan apa yang akan barang/jasa dinaikkan. Pengetahuan mengenai seberapa dampak perubahan harga terhadap permintaan sangatlah penting.

Ø Definisi Matematis

Koefesien elastisitas diukur dari persentase perubahan kuantitas barang dibagi dengan persentase perubahan harga. Secara sederhana kalimat tersebut dapat dirumuskan:

Atau secara umum, elastisitas “y terhadap x” adalah:

Elastisitas biasa disimbolkan sebagai ‘E’, ‘e’ atau epsilon kecil, ‘ε’. Selain elastisitas linier tersebut ada juga elastisitas non linier.

4. Aplikasi Turunan Parsial Dalam Bidang Fisika

Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng ini matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunya dalam bidang pengetahuan fisika dengan menghubungkan fungsi suatu turunan parsial dalam bidang tersebut.

Turunan parsial itu adalah suatu proses melakukan differensial dari suatu fungsi yang hanya melibatkan satu macam variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi terhadap perubahan fungsi tersebut.

Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx²+v_0x+y₀dimana y₀menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v₀, dimana v₀menyatakan kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadiy=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.

Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.

Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

Turunan waktu

Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep “tutunan waktu” laju perubahan terhadap perubahan waktu sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonman :

kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.

Percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu

5. Pada bidang Teknologi

Ø Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu.

Ø Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.

Ø Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

6. Pada bidang Kedokteran

Dosimetri adalah suatu ilmu cabang dari radioterapi (maaf listening saya buruk), intinya dosimetri itu pakai high energy inonizing radiation, salah satunya sinar-X (berarti kerjaannya jadi tukang rontgen, lebih tepatnya analisis hasil rontgen, berarti pembahasannyatentang penyakit dalam).

Kalkulus berperan pada saat penentuan lokasi koordinat penembakan laser. Pada kalkulus integral di bahas volume benda putar dengan metode cakram, cincin dll (dengan ini kita dapat mengukur volume tumor, kalau pasca penembakan laser volume menurun, maka operasi berhasil). Aplikasi kalkulus yang kedua adalah mengkur fungsi pergerakan kulit tumor setiap waktu, tujuannya, agar setelah tumor hilang, laser tidak ditembakkan lagi (takut merusak organ).

Sekedar catatan, ada juga sember lain yang menganggap tumor adalah sistem fluida, jadi hukum-hukum fluida juga penting untuk ilmu dosimetri.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan aplikasi turunan:

1. Maksimum dan Minimum

2. Kemonotonan dan Kecekungan

3. Maksimum dan Minimum Lokal

4. Penerapan Ekonomik

5. Teorema Nilai Rata-Rata

Sedangkan apilkasi nya dalam berbagai bidang

1. Dalam bidang tehnik

2. Dalam bidang matematika

3. Dalam bidang ekonomi

4. Dalam bidang fisika

5. Dalam bidang kedokteran

Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak dapat lepas dari dunia matikmatika. Matikmatika itu sederhana, namun memiliki bidang yang sangat luas. Karena, matematika mengaplikasikan posisinya di dalam keseharian kita.