OrangeYellow'sworld: Juni 2016

FUNGSI INVERS

1. Tentukan invers dari f(x) =

Jawab :

f(x) =

Û y² = x + 7

Û x = y² – 7

Û x = f^-1(y)= y² – 7

2. Invers dari f (x) = ¼ x + 2 adalah ?

Jawab :

Û y = ¼ x + 2

Û – ¼ x = – y + 2

Û ¼ x = y – 2

Û x = 4(y – 2)

Û x = 4y – 8

Û x = f^-1(y)= 4y – 8

Û f^-1(x) = 4x – 8

3. Nilai invers dari f(x) = 2 – 5x adalah ?

Jawab :

f(x) = 2 – 5x

Û y = 2 – 5x

Û 5x = – y + 2

Û x = f^-1(y)=

Û f^-1(x) =

4. Berapa invers dari f(x) =

untuk x ≠ 5, maka inversnya ?

Jawab :

f(x) =

Û y =

Û y(x – 5) = 1

Û x – 5 =

Û x =

+ 5

Û x = f^-1(y)=

Û f^-1(x) =

5. Jika f(x) =

untuk x

-1, maka nilai f^-1 (x) adalah ?

Jawab :

f(x) =

Û y² = x + 1

Û x = y² – 1

Û x = f^-1(y) = y² – 1

Û f^-1(x) = x² – 1

FUNGSI KOMPOSISI

1. Jika f(x) = x² – 3x – 4 dan g(x) = 2x + 3 dan f: R ® R g : R ® R , maka (f o g)(x) adalah ?

Jawab :

(f o g)(x) = f(g(x))

= f (2x + 3)

= (2x + 3)² –3(2x + 3) – 4

= 4x² + 12x + 9 – 6x – 9 – 4

= 4x² + 6x – 4

2. Bila f : R ® R dan g : R ® R ditentukan oleh f(x) = 2x² + 5x dan g(x) =

, maka (f o g)(2) adalah ?

Jawab :

(f o g)(x) = f(g(x)) (f o g)(2) = 2 .

= f (

) =

= 2(

)² + 5(

) = 3

= 2

3. Jika diketahui fungsi dari f(x) = 2x - 1 dan (g o f) (x) = 4x² - 2x, maka bentuk fungsi g(x) adalah ?

Jawab :

(g o f) (x) = 4x² - 2x

g(2x- 1) = 4x² - 2x

Misalkan y = 2x – 1, maka x =

g(y) = 4

- 2

= y² + 2y + 1 – y – 1

=. x² + x

4. Di ketahui f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x – 3 , maka (f o g) (x) adalah ?

Jawab :

( f o g )(x) = f(g(x))

= f(2x – 3)

= (2x – 3)² + 1

= 4x² –12x + 9 + 1

= 4x² –12x + 10

5. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² – 4x . Komposisi fungsi

(f o g) (x) ?

Jawab :

( f o g )(x) = f(g(x))

= 2(2x² – 4x) + 1

= 2x² – 8x + 1

FUNGSI INVERS DARI FUNGSI KOMPOSISI

1. Jika f suatu fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 2x – 3, maka

(f ^–1 o f ^–1)(x) adalah ….

Jawab :

(f ^–1 o f ^–1)(x) = f^-1(f^-1(x))

= f^-1

2. Diketahui fungsi f(x) = 5x – 1 dan g(x) = x² + 3 . tentukanlah rumus untuk :

a. ( f o g )^-1 (x) b. ( g^-1o f^-1)

Jawab :

a. ( f o g )(x) = f(g(x))

= f ( x² + 3)

= 5 ( x²+ 3 ) – 1

= 5x²+ 15 – 1

= 5x² + 14

Untuk menentukan ( f o g )^-1 (x)

y = 5x² + 14

y – 14 = 15x²

x = ±

( f o g ) ^-1 (y) = ±

( f o g ) ^-1 (x) = ±

b. ( g^-1o f^-1) = ( f o g ) ^-1 (x) = ±

3. Di ketahui fungsi f(x)= 4 – 2x, g(x)= 3x – 1 dan h(x) = 5x + 2 tentukanlah rumus fungsi untuk ( f o g o h)^-1(x) !

Jawab :

( f o g o h) (x) = f(g(h(x)))

= f (3(5x + 2) – 1

= f(15x + 5 )

= – 2 (15x + 5) + 4

= - 30x – 6

Kita inverskan :

y = - 30x – 6

30x = – 6 – y

( f o g o h)^-1(y) =

( f o g o h)^-1(x) =

4. Diketahui f(x)=

dan g(x) = 3x – 1. Tentukan (f o g )^-1 (x)

Jawab:

( f o g )(x) = f(g(x))

= 1( 3x – 1 )

= 3x – 1

(f o g )^-1 (x) = 3x – 1

y = 3x – 1

3x = -1 – y

x =

(f o g )^-1 (y) =

(f o g )^-1 (x) =

5. Misal : f : R

R dengan f(x) = 2x + 3 dan g(x) = 4- x. Tentukanlah

(g o f)^-1 (x)!

Jawab :

F(x) = 2x + 3 dan g(x) = 4 – x

( g o f) (x) = g(f(x))

= g (2x + 3)

= 4 – (2x + 3)

= -2x + 1

( g o f )^-1(x) = - ½ (x – 1)

= -1/2x + 1/2

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

1. f(x) = -3x⁹ turunannya adalah ?

jawab :

f(x) = -3x⁹

f ‘ (x) = -3 . 9x^9-1

f ‘ (x) = -27x⁸

2. carilah turunan dari f(x)

jawab :

f(x)

f ‘ (x) = (6) (

) x^{-4/3 – 1}

= -8x ^-7/3

3. turunan dari fungsi suku banyak berikut ini f(x) =

- x + 10 adalah ?

jawab :

f ‘ (x) = 1.4

- 2.3

+ 2.6

- 1

= 4

- 6

+ 12

- 1

4. turunan dari fungsi f(x) = (

- x ) (

+ 2 )

jawab :

f(x) = (

- x ) (

+ 2 )

+ 2

– 2x

f ‘ (x) = 5

- 4

+ 4

- 2

5. jika f(x) =

misalkan u(x) = x – 3, maka u ‘ (x) = 1 dan v(x) =

+ 2 , maka v ‘ (x) = 2x.

Dengan menggunakan rumus turunan hasil bagi funsi-fungsi di peroleh:

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Jika f(x) = tan x sin x, maka f’(x) adalah ....

Jawab :

f(x) = tan x sin x, maka f(x)' = u'v + uv'

u = tan x maka u’ = sec² x =

v = sin x maka v’ = cosx

f’(x) = u'v + uv'

2. f(x) = 3x cos x, maka f’(x) adalah ....

jawab :

f(x) = 3x cos x

maka u = 3x dan u’ = 3

v = cos x dan v’ = - sin x

f’(x) = u'v + uv'

= 3 cos x + 3x (-sin x)

= 3 cos x – 3x sin x

3. f(x) = (3x + 2) sin x, maka f’(x) adalah ….

Jawab :

f(x) = (3x + 2) sin x, maka f’(x)

= 3 sin x + (3x + 2) cos x

4. f(x) = (6x² – 1) cos x, maka f’(x) adalah ….

Jawab :

f(x) = (6x² – 1) cos x, maka f’(x) = 12x cos x – (6x² – 1) sin x

5. turunan kedua dari fungsi trigonometri f(x) =

cos x

jawab :

turunan pertama : f’(x) = 8x cos -

cos x

turunan kedua : f’’(x) = (8 cos x - 8 sin x ) – (8x cos -

cos x)

= 8 cos x – 16x sin x -

cos x

TURUNAN DALIL RANTAI

1. turunan pertama dari fungsi y =

jawab :

y =

Dengan u = sin x

= 4

= cos x

y’ =

= (4

)(cos x) = 4

cos x

jadi, turunan pertama dari y =

adalah y’ = 4

cos x atau 2 sin 2x

2. Turunan dari f(x) =

adalah ?

Jawab :

f(x) =

= (

- 4)

misalkan u(x) =

- 4 sehingga u’(x) =

dan f(x) =

dengan menggunakan aturan rantai di peroleh

f’(x) =

. u’(x) =

. u’(x)

–

. (

Jadi, turunan f(x) =

adalah f’(x)

3. Turunan fungsi dari f(x) =

Jawab :

Misalkan u(x) = x+3, maka u’(x) = 1 dan f(x) = {u(x)}⁴

Menggunakan aturan rantai :

f’(x) = 4{u(x)}³ . u’(x) = 4 (x + 3 )³ . (1)

= 4 ( x³ + 9x² + 27x +27 )

= 4x³ + 36x² + 108x

4. Turunan dari fungsi f(x) =

adalah ?

· u(x) = 8x, maka u’(x) = 8

· v(x) =

maka v’(x) =

(4) =

(dengan aturan rantai )

substitusi u(x), u’(x), v(x), dan v’(x) ke f’(x) :

f’(x) =

Jadi, turunan dari fungsi f(x) =

adalah f’(x) =

5. turunan pertama dari fungsi y = sin³ (3x² +

) adalah ?

jawab :

y = sin³ (3x² +

)

= sin {(3x² +

)}³ = u³, dengan u = sin v dan v = (3x² +

)

= 3u²= 3 sin²(3x² +

)

= 3x

= cos v = cos (3x² +

)

y’ =

. = { 3 sin²(3x² +

)}. {cos (3x² +

)}. (3x)

= 9x sin²(3x² +

) . cos (3x² +

)

Jadi, turunan pertama dari y = sin³ (3x² +

) adalah y’ = 9x sin²(3x² +

) . cos (3x² +

)

APLIKASI TURUNAN

1. Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan panjang lintasan 5 m selama t detik ditentukan dengan rumus S = t³ - 3t. Percepatannya pada saat kecepatannya = 0 adalah ....

Jawab :

Kecepatan adalah turunan pertama dari Jarak (S).

Percepatan adalah turunan kedua dari Jarak (S)

S = t³ - 3t.

S' = 3t² - 3

S'' = 6t

Pada saat kecepatannya 0 :

v = 3t² - 3

0 = 3t² - 3

3t² = 3

t² = 1

t = 1

Jadi Percepatannya (S'') = 6t = 6 x 1 = 6 m/det²

2. Nilai maksimum f yang dirumuskan dengan f(x) = (2x² - 2)³ adalah

Jawab :

f(x) = (2x² - 2)³

f '(x) = 3(2x² - 2)² . 4x

= 12x(2x² - 2)²

= 12x (2(x² - 1))²

= 12x . 4 . (x² - 1)

= 48 x (x + 1) (x - 1)

x = 0, atau x = -1 atau x = 1

f '(x) = 0 (nilai stasioner)

Untuk x = 0 :

f(x) = (2x² - 2)³

f '(0) = (0 - 2)³ = -8

Untuk x = -1 :

f(x) = (2x² - 2)³

f '(-1) = (2 . 1 - 2)³ = 0³ = 0

Untuk x = 1 :

f(x) = (2x² - 2)³

f '(-1) = (2 . 1 - 2)³ = 0³ = 0

Jadi, nilai maksimumnya = 0

Grafik fungsi f(x) = x naik untuk nilai x yang memenuhi adalah ?

Jawab :

f(x) = 5 + 15 x + 9x² + x³

f’(x) = 0 + 15 + 18x + 3x² > 0

x² + 6x + 5 > 0

(x + 5) (x + 1) > 0

Grafik fungsi y = x⁴ – 8x² – 9 turun untuk nilai x ….

Jawab :

y = x⁴ – 8x² – 9

y’ = 4x³ – 16x < 0

= 4x (x – 2) ( x + 2) < 0

Jadi grafik turunnya adalah x < - 2 dan 0 < x < 2

5. Tentukan persamaan garis singgung kurva

pada titik (0,1) !

Jawab :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg61TAF4DMdigtHDRmt06SyWMPSX5ZWyox2SQOkT6IS_YA0CiXB7foWJ6zqvrtoXF-ptLdOrFmEy-Kpb1mTZwgFZFznRSKl-5R548GGDiPbNtSDL3orHAMxQoX9svaI4_rNgUPvo9tffHmZ/s1600/turunan-fungsi-garis-singgung2.png

6. Biaya proyek sebuah perusahaan per harinya dinyatakan oleh fungsi f(x) = 3x + 1200/x – 60 (dalam juta rupiah). Tentukan total biaya produksi selama x hari agar diperoleh biaya minimum?

Jawaban :

Biaya Proyek per hari = 3x + 1200/x – 60

Biaya Proyek per x hari = (3x + 1200/x – 60)/x

= 3 + 1200/x² – 60/x

= 3x² – 60x + 1200

Agar biaya minimum, maka nilai stationer = 0 atau f ‘ (x) = 0.

f ‘ (x) = 0

6x – 60 = 0

6x = 60

x = 10 hari.

Biaya minimum per hari

= 3x + 1200/x – 60

= 3(10) + 1200/10 -60

= 30 + 120 – 60

= 90 juta rupiah

Maka total biaya minimum proyek selama 10 hari adalah

= 90 juta rupiah x 10 hari

= 900 juta rupiah.

7. Sebuah gelas berbentuk kerucut terbalik dengan tinggi dan jari-jari kerucut berturut-turut 15 cm dan 4 cm. Jika gelas bocor tepat di bawahnya dengan debit keluarnya air 1cm3/detik , maka tentukan kecepatan menurunnya air saat ketinggian air di gelas tinggal 10 cm ?

Pembahasan :

Pada gambar di samping rh=415

→r=415h

V=13πr2h

=13π(415h)2h

=16675πh3

Sehingga dVdh =d16675πh3dh

atau dhdV =22516πh2

=16225πh2

Diketahui : dvdt =1cm3/detik

Dhdt =dhdv×dvdt

=dhd16675πh3×dvdt

=22516πh2×dvdt

=22516π(10)2×1

=964πcm/detik

8. Sebuah bola es mencair dengan kecepatan berkurangnya jari- jari 0,1cm/detik , maka tentukan

a. Laju berkurangnya volume pada saat jari-jari es tertinggal 1 meter?

b. Laju berkurangnya luas permukaan pada saat jari-jari es tertinggal 1 meter?

Jawab :

a. Diketahui dr/dt = 0,1cm/detik

dan r =1m=100cm

dV/ dt =dVdr×drdt

=d(43πr3)dr×drdt

=4πr2drdt

=4π(100)2(0,1)

=4000πcm3detik/

b . dLdt =dLdr×drdt

=d(4πr2)dr×drdt

=8πrdrdt

=8π(100)(0,1)

=80πcm2detik

OrangeYellow'sworld

Entri yang Diunggulkan

Sabtu, 18 Juni 2016

SOAL - SOAL MATEMATIKA